Question

11．函数f（x）=（x²-ax+2a）ln（x+1）的图象经过四个象限，则实数a的取值范围为（-$\frac{1}{3}$，0）．

Answer 1

分析 讨论当x＞0，和x＜0时，函数g（x）=x²-ax+2a的取值情况，利用参数分离法进行求解即可．

解答 解：函数的定义域为（-1，+∞），设g（x）=x²-ax+2a，
若-1＜x＜0，ln（x+1）＜0，此时要求g（x）在-1＜x＜0经过二、三，
即此时$\left\{\begin{array}{l}{g（0）=2a＜0}\\{g（-1）=1+a+2a＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a＞-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，此时-$\frac{1}{3}$＜a＜0，
当x=0时，f（0）=0，此时函数图象过原点，
当x＞0时，ln（x+1）＞0，此时要求g（x）经过一四象限，
即x＞0时，x²-ax+2a＜0，有解，
即a（x-2）＜x²有解，
当x=2时，不等式等价为0＜4，成立，
当0＜x＜2时，a＞$\frac{{x}^{2}}{x-2}$，∵此时$\frac{{x}^{2}}{x-2}$＜0，∴此时a＜0，
当x＞2时，不等式等价为a＜$\frac{{x}^{2}}{x-2}$，
∵$\frac{{x}^{2}}{x-2}$=$\frac{（x-2）^{2}+4（x-2）+4}{x-2}$=（x-2）+$\frac{4}{x-2}$+4
≥4+2$\sqrt{（x-2）•\frac{4}{x-2}}$=4+2×2=4+4=8，
∴若a＜$\frac{{x}^{2}}{x-2}$有解，则a＞8，
即当x＞0时，a＜0或a＞8，
综上{a|-$\frac{1}{3}$＜a＜0}∩{a|a＜0或a＞8}={a|-$\frac{1}{3}$＜a＜0}=（-$\frac{1}{3}$，0），
故答案为：（-$\frac{1}{3}$，0）．

点评 本题主要考查函数图象的应用，根据条件当x＞0和x＜0时，ln（x+1）的符号一定，此时讨论g（x）=x²-ax+2a的符号，结合一元二次函数的图象和性质是解决本题的关键．