Question

20．如图所示，在△ABC中，AD=DB，F在线段CD上，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow b$，$\overrightarrow{AF}$=$x\overrightarrow a+y\overrightarrow b$，则$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$的最小值为$6+4\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 可由条件得出$\overrightarrow{AF}=2x\overrightarrow{AD}+y\overrightarrow{AC}$，进而便可得出2x+y=1，并且x，y∈（0，1），从而便可得出$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=\frac{2x+y}{x}+\frac{4（2x+y）}{y}$，然后化简，根据基本不等式即可求出原式的最小值．

解答 解：根据条件，$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AD}$；
∴$\overrightarrow{AF}=2x\overrightarrow{AD}+y\overrightarrow{AC}$；
∵C，F，D三点共线，且F在线段CD上；
∴2x+y=1，且x，y∈（0，1）；
∴$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=\frac{2x+y}{x}+\frac{4（2x+y）}{y}$
=$2+\frac{y}{x}+\frac{8x}{y}+4$
$≥6+4\sqrt{2}$，当且仅当$\frac{y}{x}=\frac{8x}{y}$，即$x=\frac{1}{2+2\sqrt{2}}$时取“=”；
∴$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$的最小值为$6+4\sqrt{2}$．
故答案为：$6+4\sqrt{2}$．

点评 考查向量数乘的几何意义，三点A，B，C共线的充要条件：$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，且x+y=1，以及利用基本不等式求最值的方法．