Question

9．已知a∈R，讨论函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$（x＞0）的单调性（写出过程）．

Answer 1

分析 利用单调性的定义，进行作差，对a的值进行讨论，即可判断函数f（x）的单调性．

解答 解：f（x）=x+$\frac{a}{x}$（x＞0），
设x₁＞x₂＞0，
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁+$\frac{a}{{x}_{1}}$）-（x₂+$\frac{a}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）（1-$\frac{a}{{{x}_{1}x}_{2}}$），
当a＞0时，若0＜x₂＜x₁≤$\sqrt{a}$，则恒有$\frac{a}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞1，
此时f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x）在（0，$\sqrt{a}$]上是减函数；
若x₁＞x₂≥$\sqrt{a}$，则恒有0＜$\frac{a}{{{x}_{1}x}_{2}}$＜1，
此时f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x）在[$\sqrt{a}$，+∞）上是增函数；
当a≤0时，x₁-x₂＞0，1-$\frac{a}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞0，
此时f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x）在（0，+∞）上是单调增函数；
综上，a＞0时，f（x）在（0，$\sqrt{a}$]上是减函数，在[$\sqrt{a}$，+∞）上是增函数；
a≤0时，f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．

点评 本题考查了函数的单调性的判断与证明问题，作差法是证明和判断单调性的最常用方法，是基础题目．