Question

12．已知函数f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$（a∈R）
（Ⅰ）若a=-4，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，求a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）分离参数，问题转化为a≥$\frac{-{\frac{1}{2}x}^{2}+\frac{1}{2}}{lnx}$，x＞1，在区间（1，+∞）上恒成立，令g（x）=$\frac{-{\frac{1}{2}x}^{2}+\frac{1}{2}}{lnx}$，x＞1，根据函数的单调性求出a的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）a=-4时，f（x）=-4lnx+$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$，（x＞0），
f′（x）=-$\frac{4}{x}$+x=$\frac{（x+2）（x-2）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增；
（Ⅱ）若f（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
x=1时，成立，x＞1时，
即a≥$\frac{-{\frac{1}{2}x}^{2}+\frac{1}{2}}{lnx}$在区间（1，+∞）上恒成立，
令g（x）=$\frac{-{\frac{1}{2}x}^{2}+\frac{1}{2}}{lnx}$，x＞1，
则g′（x）=$\frac{-4lnx+2x-\frac{2}{x}}{{4（lnx）}^{2}}$，
令h（x）=-4lnx+2x-$\frac{2}{x}$，（x＞1），
h′（x）=-4lnx-$\frac{2{（x}^{2}-1）}{{x}^{2}}$＜0，
∴h（x）在（1，+∞）递减，
∴h（x）＜h（1）=0，
∴g′（x）＜0，
g（x）在（1，+∞）递减，
而$\underset{lim}{x→1}$$\frac{-{\frac{1}{2}x}^{2}+\frac{1}{2}}{lnx}$=$\underset{lim}{x→1}$$\frac{-x}{\frac{1}{x}}$=-1，
故g（x）＜g（1）=-1，
∴a≥-1，
故a的最小值是-1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的意义以及函数恒成立问题，是一道中档题．