Question

6．已知$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（sinx，k），$\overrightarrow{c}$=（-2cosx，sinx-k）．
（1）当x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，求|$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|的取值范围；
（2）若g（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$，求当k为何值时，g（x）的最小值为-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由已知利用平面向量的坐标运算可得$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$=（sinx-2cosx，sinx），利用三角函数恒等变换的应用可得|$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|²=$\sqrt{5}$cos（2x+φ）+3，其中，tanφ=2，又x∈[0，$\frac{π}{4}$]，可求$2x+φ∈[φ，\frac{π}{2}+φ]$，利用余弦函数的单调性即可得解|$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|的取值范围；
（2）利用平面向量数量积的运算可得g（x）=-3sinxcosx+k（sinx-cosx）-k²，令t=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），则g（x）可化为$h（t）=（-3）•\frac{{1-{t^2}}}{2}+kt-{t^2}=\frac{3}{2}{t^2}+kt-{k^2}-\frac{3}{2}，t∈[{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}]$，对称轴$t=-\frac{k}{{2×\frac{3}{2}}}=-\frac{k}{3}$．利用二次函数的图象和性质分类讨论即可得解．

解答 解：（1）$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$=（sinx-2cosx，sinx），
|$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|²=（sinx-2cosx，sinx）²
=2sin²x-4sinxcosx+4cos²x
=2cos²x-4sinxcosx+2
=cos2x-2sin2x+3
=$\sqrt{5}$cos（2x+φ）+3，其中，tanφ=2，
又∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，
∴$2x+φ∈[φ，\frac{π}{2}+φ]$，
∴$\sqrt{5}cos（2x+φ）$在$[φ，\frac{π}{2}+φ]$上单调递减，
∴|$\sqrt{5}$cos（2x+φ）|²∈[1，4]，
∴|$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|∈[1，2]．
（2）$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=（2sinx，cosx+k），
g（x）=（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{c}$
=-4sinxcosx+（cosx+k）（sinx-k）
=-3sinxcosx+k（sinx-cosx）-k²
令t=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
则t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，且t²=sin²x+cos²x-2sinxcosx=1-2sinxcosx，
所以$sinxcosx=\frac{{1-{t^2}}}{2}$．
所以g（x）可化为$h（t）=（-3）•\frac{{1-{t^2}}}{2}+kt-{t^2}=\frac{3}{2}{t^2}+kt-{k^2}-\frac{3}{2}，t∈[{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}]$，
对称轴$t=-\frac{k}{{2×\frac{3}{2}}}=-\frac{k}{3}$．
①当$-\frac{k}{3}＜-\sqrt{2}$，即$k＞3\sqrt{2}$时，$g{（x）_{min}}=h（-\sqrt{2}）=\frac{3}{2}×{（-\sqrt{2}）^2}+k（-\sqrt{2}）-{k^2}-\frac{3}{2}=-{k^2}-\sqrt{2}k+\frac{3}{2}$，
由$-{k^2}-\sqrt{2}k+\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}$，得${k^2}+\sqrt{2}k-3=0$，
所以$k=\frac{{-\sqrt{2}±\sqrt{14}}}{2}$．
因为$k＞3\sqrt{2}$，
所以此时无解．
②当$-\sqrt{2}≤-\frac{k}{3}≤\sqrt{2}$，即$-3\sqrt{2}≤k≤3\sqrt{2}$时，$g{（x）_{min}}=h（-\frac{k}{3}）=\frac{3}{2}{（-\frac{k}{3}）^2}+k（-\frac{k}{3}）-{k^2}-\frac{3}{2}=-\frac{7}{6}{k^2}-\frac{3}{2}$．
由-$\frac{7{k}^{2}}{6}$-$\frac{3}{2}$=-$\frac{3}{2}$，得k=0∈[-3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$]．
③当-$\frac{k}{3}$$＞\sqrt{2}$，即k＜-3$\sqrt{2}$时，
g（x）_min=h（$\sqrt{2}$）=-k²+$\sqrt{2}$k+$\frac{3}{2}$，
由-k²+$\sqrt{2}$k+$\frac{3}{2}$=-$\frac{3}{2}$，得k²-$\sqrt{2}$k-3=0，
所以k=$\frac{\sqrt{2}±\sqrt{14}}{2}$．
因为k$＜-3\sqrt{2}$，所以此时无解．
综上所述，当k=0时，g（x）的最小值为-$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，平面向量的坐标运算，平面向量数量积的运算，考查了计算能力和分类讨论思想，属于中档题．