Question

14．在极坐标系中，点A的极坐标是（1，π），点P是曲线C：ρ=2sinθ上的一个动点，则|PA|的取值范围是$[\sqrt{2}-1，\sqrt{2}+1]$．

Answer 1

分析 点A的极坐标是（1，π），化为直角坐标A（-1，0）．曲线C：ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，把y=ρsinθ，ρ²=x²+y²代入即可化为直角坐标方程．可得圆心C，半径r．即可得出|PA|的取值范围是[|CA|-r，|CA|+r]．

解答 解：点A的极坐标是（1，π），化为直角坐标A（-1，0）．
曲线C：ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x²+y²=2y，配方为：x²+（y-1）²=1．可得圆心C（0，1），半径r=1．
则|CA|=$\sqrt{2}$．
则|PA|的取值范围是$[\sqrt{2}-1，\sqrt{2}+1]$．
故答案为：$[\sqrt{2}-1，\sqrt{2}+1]$．

点评 本题考查了直角坐标与极坐标的互化、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．