Question

13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 3
• C． $\frac{{3\sqrt{5}}}{2}$
• D． $3\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根据三视图作出三棱锥的直观图，计算四个侧面的面积进行比较．

解答 解：作出三棱锥P-ABC的直观图如图所示，过A作AD⊥BC，垂足为D，连结PD．由三视图可知PA⊥平面ABC，
AB=AD=1，CD=PA=2，∴BC=3，PD=$\sqrt{P{A}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$．AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{2}$．BC⊥PD．
∴S_ABC=$\frac{1}{2}×BC×AD$=$\frac{3}{2}$，S_△ABP=$\frac{1}{2}×AB×PA$=$\sqrt{2}$，S_△ACP=$\frac{1}{2}×AC×PA$=$\sqrt{5}$，S_△BCP=$\frac{1}{2}×BC×PD$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．
∴三棱锥P-ABC的四个面中，侧面PBC的面积最大．
故选C．

点评 本题考查了棱锥的结构特征和三视图，面积计算，作出直观图是解题关键，属于中档题．