Question

8．已知函数f（x）=-2x²+（a+3）x+1-2a，g（x）=x（1-2x）+a，其中a∈R．
（1）若函数f（x）是偶函数，求函数f（x）在区间[-1，3]上的最小值；
（2）用函数的单调性的定义证明：当a≤1时，f（x）在区间[1，+∞）上为减函数；
（3）当x∈[-1，3]，函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）为偶函数，便有f（-1）=f（1），这样即可求出a=-3，从而得到f（x）=-2x²+1-2a，根据该函数的图象，比较f（-1）和f（3）便可求出f（x）在区间[-1，3]上的最小值；
（2）根据减函数的定义，设任意的x₁＞x₂≥1，然后作差，提取公因式，根据x₁＞x₂≥1及a≤1证明f（x₁）＜f（x₂）即可得出当a≤1时，f（x）在区间[1，+∞）上为减函数；
（3）根据条件可以得到（a+2）x+1-3a＞0在x∈[-1，3]上恒成立，从而有$\left\{\begin{array}{l}（a+2）•（-1）+1-3a＞0\\（a+2）•3+1-3a＞0\end{array}\right.$，解该不等式组便可得出实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）是偶函数；
∴f（-1）=f（1）；
即-2-（a+3）+1-2a=-2+（a+3）+1-2a；
∴-（a+3）=a+3；
∴a=-3；
∴f（x）=-2x²+7；
∵f（3）=-2•3²+7=-11，f（-1）=-2•（-1）²+7=5；
∴函数f（x）在区间[-1，3]上的最小值为-11；
（2）设x₁＞x₂≥1，则：
f（x₁）-f（x₂）=$-2{{x}_{1}}^{2}+（a+3）{x}_{1}+2{{x}_{2}}^{2}-（a+3）{x}_{2}$
=$2（{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}）+（a+3）（{x}_{1}-{x}_{2}）$
=（x₂-x₁）[2（x₁+x₂）-（a+3）]；
∵x₁＞x₂≥1；
∴x₂-x₁＜0，2（x₁+x₂）＞4；
又a≤1；
∴a+3≤4；
∴2（x₁+x₂）-（a+3）＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
当a≤1时，f（x）在区间[1，+∞）上为减函数；
（3）根据题意，x∈[-1，3]时，-2x²+（a+3）x+1-2a＞x（1-2x）+a恒成立；
即（a+2）x+1-3a＞0在x∈[-1，3]上恒成立；
∴$\left\{\begin{array}{l}（a+2）•（-1）+1-3a＞0\\（a+2）•3+1-3a＞0\end{array}\right.$；
解得$a＜-\frac{1}{4}$；
∴实数a的取值范围为$（-∞，-\frac{1}{4}）$．

点评 考查偶函数的定义，二次函数的图象，二次函数在闭区间上的最值，减函数的定义，以及根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，不等式的性质，函数图象的位置关系和函数值大小的关系，要熟悉一次函数和二次函数的图象．