Question

2．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A=2B，则$\frac{c}{b}$的取值范围是（　　）

• A． （1，3）
• B． （2，3）
• C． （0，3）
• D． （1，2）

Answer 1

分析 由∠A=2∠B可得C=π-3B，由A，B，C∈（0，$\frac{π}{2}$）可先确定B的范围，利用正弦定理化简表达式，求出范围即可．

解答 解：在锐角△ABC中，若A=2B，则B∈（0，$\frac{π}{4}$），C=π-3B＜$\frac{π}{2}$，故B＞$\frac{π}{6}$，
∴B∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$），∴cosB∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
则 $\frac{c}{b}$=$\frac{sinC}{sinB}$=$\frac{sin3B}{sinB}$=$\frac{3sinβ-{4sin}^{3}B}{sinB}$=3-4sin²B=4cos²B-1．
令t=cosB，则t∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），函数y=$\frac{c}{b}$=4t²-1在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）上单调递增．
故当cosB趋于$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，y=4t²-1趋于2； 当cosB趋于$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，y=4t²-1趋于1，故y的范围为（1，2）．
故选：D．

点评 本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，注意锐角三角形中角的范围的确定，是本题解答的关键，考查计算能力，逻辑推理能力，属于中档题．