【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
在区间
上的值域;
(2)当时,试讨论函数
的单调性;
(3)若对任意,存在
,使得不等式
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)直接利用导数求函数的单调区间再求其值域.(2)对m分类讨论,利用导数求函数的单调性.(3)先求得
,转化为
,对任意
恒成立,再构造函数
,求其最小值得解.
(1)当时,函数
,所以
所以函数
单调递增,
故函数在区间
上的最小值为
最大值为
,所以区间
上的值域为
(2)
令得
当时,
,由
得
或
,由
得
,所以在区间
和
上,函数
单调递增,在区间
上,函数
单调递减.
当时,
,所以函数
单调递增.
当时,
,由
得
或
,由
得
,所以在区间
和
上,函数
单调递增,在区间
上,函数
单调递减.
(3)由(2)知,当时,函数
在
上单调递增,故当
时,
,因为对任意
,存在
,使得不等式
成立,所以
,得
,对任意
恒成立
记,则
当时,
若
则
从而
,所以函数
在
上单调递增,所以当
时,
符合题意
若,则存在
,使得
,则
在
上单调递减,在
上单调递增,从而当
时,
,说明当
时,
不恒成立,不符合题意
若,则
在
上单调递减,所以当
时,
,不符和题意。综上,实数
的取值范围是
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某公司为提高员工的综合素质,聘请专业机构对员工进行专业技术培训,其中培训机构费用成本为12000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算:若公司参加培训的员工人数不超过30人时,每人的培训费用为850元;若公司参加培训的员工人数多于30人,则给予优惠:每多一人,培训费减少10元.已知该公司最多有60位员工可参加培训,设参加培训的员工人数为人,每位员工的培训费为
元,培训机构的利润为
元.
(1)写出与
之间的函数关系式;
(2)当公司参加培训的员工为多少人时,培训机构可获得最大利润?并求最大利润.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数h(x)=lnx+ .
(1)函数g(x)=h(2x+m),若x=1是g(x)的极值点,求m的值并讨论g(x)的单调性;
(2)函数φ(x)=h(x)﹣ +ax2﹣2x有两个不同的极值点,其极小值为M,试比较2M与﹣3的大小关系,并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,P点的极坐标为(3, ).曲线C的参数方程为ρ=2cos(θ﹣
)(θ为参数).
(Ⅰ)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)若Q为曲线C上的动点,求PQ的中点M到直线l:2ρcosθ+4ρsinθ= 的距离的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数y=f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)>1,且对任意的实数x、y∈R,等式f(x)f(y)=f(x+y)恒成立.若数列{an}满足a1=f(0),且f(an+1)=,则a2 017的值为( )
A. 4 033 B. 3 029 C. 2 249 D. 2 209
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