【题目】已知函数h(x)=lnx+ .
(1)函数g(x)=h(2x+m),若x=1是g(x)的极值点,求m的值并讨论g(x)的单调性;
(2)函数φ(x)=h(x)﹣ +ax2﹣2x有两个不同的极值点,其极小值为M,试比较2M与﹣3的大小关系,并说明理由.
【答案】
(1)解:g(x)=ln(2x+m)+ ,(x>﹣
),
g′(x)= ﹣
=
,
若x=1是g(x)的极值点,
则g′(x)= =0,解得:m=﹣1,
故g(x)=ln(2x﹣1)+ ,(x>
),
g′(x)= ,
令g′(x)>0,解得:x>1,令g′(x)<0,解得: <x<1,
故g(x)在( ,1)递减,在(1,+∞)递增
(2)解:φ(x)=h(x)﹣ +ax2﹣2x=ax2﹣2x+lnx(x>0)
φ′(x)=2ax﹣2+ =
(x>0)
∵φ(x)有两个不同的极值点,
∴2ax2﹣2x+1=0在(0,+∞)有两个不同的实根.
设p(x)=2ax2﹣2x+1=0,
则 ,即
,即有0<a<
.
设p(x)在(0,+∞)的两根x1,x2且x1<x2,
x | (0,x1) | x1 | (x1,x2) | x2 | (x2,+∞) |
φ′(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
φ(x) | 递增 | 极大值 | 递减 | 极小值 | 递增 |
∴φ(x)的极小值为M=φ(x2)=ax22﹣2x2+lnx2
又p(x)=0在(0,+∞)的两根为x1,x2,
∴2ax22﹣2x2+1=0
∴φ(x)极小值=M=φ(x2)=ax22﹣2x2+lnx2
=x2﹣ ﹣2x2+lnx2=﹣
+lnx2﹣x2,
∴2M=﹣1+2lnx2﹣2x2,
∵x2= (0<a<
)
∴x2>1令v(x)=﹣1+2lnx﹣2x,v′(x)= ﹣2,
∴x>1时,v′(x)<0,v(x)在(1,+∞)递减,
∴x>1时,v(x)=﹣1+2lnx﹣2x<v(1)=﹣3,
∴2M<﹣3.
【解析】(1)求出g(x)=h(x+m)的导数,根据g′(1)=0,求出m的值,从而求出g(x)的解析式,求出函数的单调区间即可;(2)对φ(x)求导数,φ(x)有两个不同的极值点,即为2ax2﹣2x+1=0在(0,+∞)有两个不同的实根.设p(x)=2ax2﹣2x+1=0,运用韦达定理和判别式,即可得到0<a< .列表得到φ(x)的单调区间和极值的关系,即可得到极小值M,令v(x)=﹣1+2lnx﹣2x,运用导数,得到v(x)在(1,+∞)递减,运用单调性即可得到2M<﹣3.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识,掌握求函数的极值的方法是:(1)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值(2)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值.
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【题目】从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛.试求满足下列条件的参赛方案各有多少种?(用数字作答)
(1)甲不能跑第一棒和第四棒;(2)甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒
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【题目】2015男篮亚锦赛决赛阶段,中国男篮以9连胜的不败战绩赢得第28届亚锦赛冠军,同时拿到亚洲唯一1张直通里约奥运会的入场券.赛后,中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛MVP(最有价值球员),如表是易建联在这9场比赛中投篮的统计数据.
比分 | 易建联技术统计 | |||
投篮命中 | 罚球命中 | 全场得分 | 真实得分率 | |
中国91﹣42新加坡 | 3/7 | 6/7 | 12 | 59.52% |
中国76﹣73韩国 | 7/13 | 6/8 | 20 | 60.53% |
中国84﹣67约旦 | 12/20 | 2/5 | 26 | 58.56% |
中国75﹣62哈萨克期坦 | 5/7 | 5/5 | 15 | 81.52% |
中国90﹣72黎巴嫩 | 7/11 | 5/5 | 19 | 71.97% |
中国85﹣69卡塔尔 | 4/10 | 4/4 | 13 | 55.27% |
中国104﹣58印度 | 8/12 | 5/5 | 21 | 73.94% |
中国70﹣57伊朗 | 5/10 | 2/4 | 13 | 55.27% |
中国78﹣67菲律宾 | 4/14 | 3/6 | 11 | 33.05% |
注:①表中a/b表示出手b次命中a次;
②TS%(真实得分率)是衡量球员进攻的效率,其计算公式为:
TS%= .
(Ⅰ)从上述9场比赛中随机选择一场,求易建联在该场比赛中TS%超过50%的概率;
(Ⅱ)从上述9场比赛中随机选择两场,求易建联在这两场比赛中TS%至少有一场超过60%的概率;
(Ⅲ)用x来表示易建联某场的得分,用y来表示中国队该场的总分,画出散点图如图所示,请根据散点图判断y与x之间是否具有线性相关关系?结合实际简单说明理由.
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【题目】2015男篮亚锦赛决赛阶段,中国男篮以9连胜的不败战绩赢得第28届亚锦赛冠军,同时拿到亚洲唯一1张直通里约奥运会的入场券.赛后,中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛MVP(最有价值球员),如表是易建联在这9场比赛中投篮的统计数据.
比分 | 易建联技术统计 | |||
投篮命中 | 罚球命中 | 全场得分 | 真实得分率 | |
中国91﹣42新加坡 | 3/7 | 6/7 | 12 | 59.52% |
中国76﹣73韩国 | 7/13 | 6/8 | 20 | 60.53% |
中国84﹣67约旦 | 12/20 | 2/5 | 26 | 58.56% |
中国75﹣62哈萨克期坦 | 5/7 | 5/5 | 15 | 81.52% |
中国90﹣72黎巴嫩 | 7/11 | 5/5 | 19 | 71.97% |
中国85﹣69卡塔尔 | 4/10 | 4/4 | 13 | 55.27% |
中国104﹣58印度 | 8/12 | 5/5 | 21 | 73.94% |
中国70﹣57伊朗 | 5/10 | 2/4 | 13 | 55.27% |
中国78﹣67菲律宾 | 4/14 | 3/6 | 11 | 33.05% |
注:①表中a/b表示出手b次命中a次;
②TS%(真实得分率)是衡量球员进攻的效率,其计算公式为:
TS%= .
(Ⅰ)从上述9场比赛中随机选择一场,求易建联在该场比赛中TS%超过50%的概率;
(Ⅱ)从上述9场比赛中随机选择两场,求易建联在这两场比赛中TS%至少有一场超过60%的概率;
(Ⅲ)用x来表示易建联某场的得分,用y来表示中国队该场的总分,画出散点图如图所示,请根据散点图判断y与x之间是否具有线性相关关系?结合实际简单说明理由.
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【题目】设函数是定义在R上的函数,对任意实数x,有f(1﹣x)=x2﹣3x+3.
(1)求函数的解析式;
(2)若函数在g(x)=f(x)﹣(1+2m)x+1(m∈R)在上的最小值为﹣2,求m的值.
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