Question

如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿对角线BD将Rt△ABD折起，使点A到P点，且点P在平面BCD内的射影O恰好落在CD边上，求二面角P-BD-C的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：过点O作OE⊥BD，连结PE，可得∠PEO为二面角P-BD-C的平面角，解△CPD和△DPB，可得答案

解答： 解：∵PO⊥面BCD，
∴过点O作OE⊥BD，连结PE，PE⊥BD，
∴∠PEO为二面角P-BD-C的平面角，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC⊥CD，DA⊥AB，
∵A点移动到了P点，
∴PD⊥PB，
又∵P点在平面BCD上的射影在CD上，
∴过P点作PO⊥CD，
∴PO⊥面BCD，
∴BC⊥面PCD，
∴PD⊥面PBC，
∴PD⊥PC，
∴△CPD为Rt△，
∵AB=4，BC=3，BD=

AB2+BC2

=3

5

．PE=

AQ•AB

BD

=

3×6

3 5

=

6 5

5

．
∴PC=

PB2-BC2

=

37

，
在Rt△DPC中，DC•PO=PD•PC，
解得：PO=

3× 37

6

=

37

2

．
∴sin∠PEO=

PO

PE

=

37 2

6 5 5

=

185

12

，
二面角P-BD-C的正弦值：

185

12

．

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，是空间立体几何的综合应用，难度中档．