Question

已知幂函数y=f（x）经过点(2，

1

2

)，
（1）试求函数解析式；
（2）判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间；
（3）试解关于x的不等式f（3x+2）+f（2x-4）＞0．

Answer 1

分析：（1）设y=a^x，代入(2，

1

2

)可得a值，从而得到幂函数的解析式．
（2）根据函数解析式求出定义域，在考查f（-x）与f（x）的关系，依据函数奇偶性的定义作出判断．
（3）将不等式化为f（3x+2）＞f（4-2x），分3x+2与2x-4都是正数、都是负数、异号三种情况，依据函数的单调性及函数值范围列出不等式组，最后把各个不等式组的解集取并集．

解答：解：（1）设y=a^x，代入(2，

1

2

)，
得a=-1，∴y=

1

x

，x≠0．
（2）定义域（-∞，0）∪（0，+∞），又  f(-x)=-

1

x

=-f(x)，
∴f（x）为奇函数．
单调区间（-∞，0），（0，+∞）
（3）由f（3x+2）+f（2x-4）＞0得 f（3x+2）＞-f（2x-4），
即 f（3x+2）＞f（4-2x），
①当3x+2＞0，4-2x＞0时，

3x+2＞0 4-2x＞0 3x+2＜4-2x

∴-

2

3

＜x＜

2

5

，
②当3x+2＜0，4-2x＜0时，

3x+2＜0 4-2x＜0 3x+2＜4-2x

，x无解，
③当3x+2与4-2x异号时，

3x+2＞0 4-2x＜0

，x＞2，
综上所述，-

2

3

＜x＜

2

5

或x＞2．

点评：本题考查用待定系数法求函数解析式、奇偶性，求函数单调区间、定义域，以及利用单调性、奇偶性解不等式．