Question

11．对?x∈（0，$\frac{π}{2}$），下列四个命题：①sinx+tanx＞2x；②sinx•tanx＞x²；③sinx+tanx＞$\frac{8}{3}$x；④sinx•tanx＞2x²，则正确命题的序号是（　　）

• A． ①、②
• B． ①、③
• C． ③、④
• D． ②、④

Answer 1

分析 ①令f（x）=sinx+tanx-2x，求得导数，判断单调性，即可判断；
②令f（x）=sinxtanx-x²，求得导数，再令g（x）=sinx+$\frac{sinx}{co{s}^{2}x}$-2x，求得导数，判断单调性，即可判断f（x）的单调性，进而得到结论；
③令x=$\frac{π}{6}$，求出不等式左右两边的数值，即可判断；④令x=$\frac{π}{4}$，求出不等式左右两边的数值，即可判断．

解答 解：①令f（x）=sinx+tanx-2x，
求导f′（x）=cosx+sec²x-2=$\frac{cosx（cosx-1）^{2}+（1-cosx）}{co{s}^{2}x}$，
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），∴0＜cosx＜1，
∴f′（x）＞0，即函数单调递增，
又f（0）=0，∴f（x）＞0，
∴sinx+tanx-2x＞0，即sinx+tanx＞2x，故①正确；
②令f（x）=sinxtanx-x²，f′（x）=cosxtanx+sinxsec²x-2x=sinx+$\frac{sinx}{co{s}^{2}x}$-2x，
g（x）=sinx+$\frac{sinx}{co{s}^{2}x}$-2x，g′（x）=cosx+$\frac{co{s}^{3}x+2cosxsi{n}^{2}x}{co{s}^{4}x}$-2=cosx+$\frac{1}{cosx}$-2+$\frac{2si{n}^{2}x}{co{s}^{3}x}$，
由0＜x＜$\frac{π}{2}$，则cosx∈（0，1），cosx+$\frac{1}{cosx}$＞2，则g′（x）＞0，
g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）递增，即有g（x）＞g（0）=0，即f′（x）＞0，
f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）递增，即有f（x）＞f（0）=0，故②正确；
③令x=$\frac{π}{6}$，则sinx+tanx=sin$\frac{π}{6}$+tan$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{8}{3}$x=$\frac{4π}{9}$，由$\frac{4π}{9}$＞$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}$，故③错误；
④令x=$\frac{π}{4}$，则sinxtanx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2x²=$\frac{{π}^{2}}{8}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜$\frac{{π}^{2}}{8}$，故④错误．
故选A．

点评 此题考查了三角不等式的恒成立问题，主要考查三角函数的图象和性质，运用导数判断单调性，进而得到大小和特殊值法判断，是解题的关键．