Question

【题目】已知函数．

（1）求函数的最小值；

（2）当时，记函数的所有单调递增区间的长度为，所有单调递减区间的长度为，证明：．（注：区间长度指该区间在轴上所占位置的长度，与区间的开闭无关．）

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）首先求函数的导数，然后判断函数的单调性，最后求最值；

（2）根据（1）首先求函数的零点，从而去掉的绝对值，分段求函数的单调区间，最后再比较单调区间的长度.

解（1）因为，所以在单调递减，单调递增，

所以.

（2）由（1）可知，在单调递减，单调递增

又，，

所以存在，使得，

则当时，，当时，

所以，

记，

当时，，所以

在单调递增，在单调递减.

当或时，

当时即在单调递增.

因为，所以

则当时，令，有

所以当时，，在单调递减

综上，在与单调递减，在与单调递增.

所以，又

所以，即