Question

【题目】椭圆的左、右焦点为，离心率为，已知过轴上一点作一条直线：，交椭圆于两点，且的周长最大值为8.

（1）求椭圆方程；

（2）以点为圆心，半径为的圆的方程为.过的中点作圆的切线，为切点，连接，证明：当取最大值时，点在短轴上（不包括短轴端点及原点）.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）利用三角形的周长的最大值结合椭圆的定义，求出a，利用离心率求解c，然后求出b，即可得到椭圆方程．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，利用韦达定理，结合△＞0得m2＜4k2+2，求出C的坐标，求出|NC|，|NE|，利用函数的导数求出最大值，推出m的范围．

解：（1）由题意得，

∴

∵，∴，∴，

∴所求椭圆方程为.

（2）设，联立得，

由得（*），且，∴

∴

∵以点为圆心，为半径的圆的方程为，∴，

∴，整理得

∵，∴

令，

∴，∴

令，则，

∴在上单调递增，∴，当且仅当时等号成立，

此时取得最大值，且，

∴，∴且，

∴点在短轴上（不包括短轴端点及原点）.