Question

【题目】已知函数（且），定义域均为．

（1）若当时，的最小值与的最小值的和为，求实数的值；

（2）设函数，定义域为．

①若，求实数的值；

②设函数，定义域为．若对于任意的，总能找到一个实数，使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②

【解析】

（1）分别求出两个函数的最小值，利用其和为﹣2建立方程，即可求出实数a的值；

（2）①求出函数h（x）的解析式，按参数a的取值范围分类判断出函数的单调性，求出函数的最值，令其等于﹣2，解方程得出参数a的值；

②根据题意，判断出在区间上，函数h（x）的值域是值域的子集，根据子集的定义转化出参数a的不等式，即可得出参数a的取值范围．

（1）当时，为增函数，为减函数，

由的最小值与的最小值的和为，

∴，即，即32，解得．

（2）．

①，

当a＞1时，不存在；

当0＜a＜1时，，

综上，实数a的值为．

②由题知，在区间上，函数h（x）的值域是值域的子集，

易得的值域为[﹣2，+∞）．

当a＞1时，h（x）的值域为，

应有a＞1时均符合，

当0＜a＜1时，h（x）的值域为，

应有，

综上，实数a的取值范围为．