Question

【题目】已知椭圆:经过点，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线交椭圆于，两点，为椭圆的左焦点，若，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）由椭圆的离心率可得，，从而使椭圆方程只含一个未知数，把点的坐标代入方程后，求得，进而得到椭圆的方程为；

（2）因为直线过定点，所以只要求出直线的斜率即可，此时需对直线的斜率分等于0和不等于0两种情况进行讨论，当斜率不为0时，设直线的方程为，点、，利用得到关于的方程，并求得.

（1）设椭圆的焦距为，则，

∴，，

所以，椭圆的方程为，

将点的坐标代入椭圆的方程得，

解得，则，，

因此，椭圆的方程为.

（2）①当直线斜率为0时，与椭圆交于，，而.

此时，故不符合题意.

②当直线斜率不为0时，设直线的方程为，设点、，

将直线的方程代入椭圆的方程，并化简得，

，解得或，

由韦达定理可得，，

，同理可得，

所以

，即

解得：，符合题意

因此，直线的方程为或.