Question

【题目】在四棱锥中，.

（1）设与相交于点，，且平面，求实数的值；

（2）若，且，求二面角 的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）由题意结合几何关系可得．结合线面平行的性质定理可得 ．

（2）由几何关系可得平面，故以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，据此可得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为 ．据此可得，则二面角 的正弦值为.

详解：（1）因为,所以．

因为，平面，平面平面，

所以．

所以，即．

（2）因为,可知为等边三角形，

所以，又，

故，所有．

由已知，所以平面，

如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，

设，则，

所以，则，

设平面的一个法向量为，则有

即

设，则，所以，　

设平面的一个法向量为，由已知可得

即　

令，则，所以 ．　

所以，

设二面角的平面角为，则．