【题目】在四棱锥中,.
(1)设与相交于点,,且平面,求实数的值;
(2)若,且,求二面角 的正弦值.
【答案】(1);(2)
【解析】分析:(1)由题意结合几何关系可得.结合线面平行的性质定理可得 .
(2)由几何关系可得平面,故以为坐标原点,的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系,据此可得平面的一个法向量为,平面的一个法向量为 .据此可得,则二面角 的正弦值为.
详解:(1)因为,所以.
因为,平面,平面平面,
所以.
所以,即.
(2)因为,可知为等边三角形,
所以,又,
故,所有.
由已知,所以平面,
如图,以为坐标原点,的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系,
设,则,
所以,则,
设平面的一个法向量为,则有
即
设,则,所以,
设平面的一个法向量为,由已知可得
即
令,则,所以 .
所以,
设二面角的平面角为,则.
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【题目】已知点A(3,3),B(5,–1)到直线l的距离相等,且直线l过点P(0,1),则直线l的方程( )
A.y=1B.2x+y–1=0
C.2x+y–1=0或2x+y+1=0D.y=1或2x+y–1=0
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【题目】已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上,圆心在直线上的圆与轴相切,且关于点对称.
(1)求和的标准方程;
(2)过点的直线与交于,与交于,求证:.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线交于两点,求.
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【题目】已知函数(且).
(1)判断函数的奇偶性并说明理由;
(2)当时,判断函数在上的单调性,并利用单调性的定义证明;
(3)是否存在实数,使得当的定义域为时,值域为?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】近年来,随着汽车消费的普及,二手车流通行业得到迅猛发展.某汽车交易市场对2017 年成交的二手车的交易前的使用时间(以下简称“使用时间”)进行统计,得到如图1所示的频率分布直方图,在图1对使用时间的分组中,将使用时间落入各组的频率视为概率.
(1)若在该交易市场随机选取3辆2017年成交的二手车,求恰有2辆使用年限在的概率;
(2)根据该汽车交易市场往年的数据,得到图2所示的散点图,其中 (单位:年)表示二手车的使用时间,(单位:万元)表示相应的二手车的平均交易价格.
①由散点图判断,可采用作为该交易市场二手车平均交易价格关于其使用年限的回归方程,相关数据如下表(表中):
试选用表中数据,求出关于的回归方程;
②该汽车交易市场拟定两个收取佣金的方案供选择.
甲:对每辆二手车统—收取成交价格的的佣金;
乙:对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格的的佣金,对使用时间8年以上(不含 8年)的二手车收取成交价格的的佣金.
假设采用何种收取佣金的方案不影响该交易市场的成交量,根据回归方程和图表1,并用,各时间组的区间中点值代表该组的各个值.判断该汽车交易市场应选择哪个方案能获得更多佣金.
附注:
于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,;
②参考数据:,.
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【题目】约定乒乓球比赛无平局且实行局胜制,甲、乙二人进行乒乓球比赛,甲每局取胜的概率为.
(1)试求甲赢得比赛的概率;
(2)当时,胜者获得奖金元,在第一局比赛甲获胜后,因特殊原因要终止比赛.试问应当如何分配奖金最恰当?
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