【题目】已知函数(且).
(1)判断函数的奇偶性并说明理由;
(2)当时,判断函数在上的单调性,并利用单调性的定义证明;
(3)是否存在实数,使得当的定义域为时,值域为?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)奇函数,理由见详解;(2)单调递减,过程见详解;(3)存在.
【解析】
(1)先由函数解析式求出定义域,再由,求出,根据函数奇偶性的概念,即可得出结果;
(2)先令,用单调性的定义,即可判断的单调性,再由复合函数单调性的判定原则,即可得出结果;
(3)先假设存在满足条件的实数,由题意得出,,推出是方程的两根,进而得到在上有两个不同解,根据一元二次方程根的分布情况,列出不等式组,即可求出结果.
(1)由解得或,即函数的定义域为;
又,
所以,
因此,所以,
所以函数为奇函数;
(2)令,任取,
则,
因为,,,所以,
即函数在上单调递增;
又,所以单调递减,
根据同增异减的原则,可得:在上单调递减;
(3)假设存在实数,使得当的定义域为时,值域为,由,可得;
所以,
因此是方程的两根,
即在上有两个不同解,
设,则,解得.
所以存在,使得当的定义域为时,值域为.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某城市的公交公司为了方便市民出行,科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为了研究车辆发车间隔时间与乘客等候人数之间的关系,经过调查得到如下数据:
间隔时间/分 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
等候人数y/人 | 23 | 25 | 26 | 29 | 28 | 31 |
调查小组先从这组数据中选取组数据求线性回归方程,再用剩下的组数据进行检验.检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数,再求与实际等候人数的差,若差值的绝对值都不超过,则称所求方程是“恰当回归方程”.
(1)从这组数据中随机选取组数据后,求剩下的组数据的间隔时间不相邻的概率;
(2)若选取的是后面组数据,求关于的线性回归方程,并判断此方程是否是“恰当回归方程”;
(3)为了使等候的乘客不超过人,试用(2)中方程估计间隔时间最多可以设置为多少(精确到整数)分钟.
附:对于一组数据,,……,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件=“第一次摸到红球”,=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”.
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件;
(2)事件R与,R与G,M与N之间各有什么关系?
(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系?事件与事件的交事件与事件R有什么关系?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,求二面角A-PB-C的余弦值.
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