【题目】一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件
=“第一次摸到红球”，
=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”.
（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
（2）事件R与，R与G，M与N之间各有什么关系？
（3）事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件与事件的交事件与事件R有什么关系？
【答案】（1）详见解析（2）事件
包含事件R；事件R与事件G互斥；事件M与事件N互为对立事件（3）事件M是事件R与事件G的并事件；事件R是事件与事件
的交事件.
【解析】
(1)利用枚举法列出试验的样本空间,再分别列出各事件的基本事件即可.
(2)根据互斥与对立事件的定义逐个判断即可.
(3)根据事件分析其交并关系即可.
解：（1）所有的试验结果如图所示,
用数组
表示可能的结果,
是第一次摸到的球的标号,
是第二次摸到的球的标号,则试验的样本空间
事件=“第一次摸到红球”,即
或2,于是
；
事件=“第二次摸到红球”,即
或2,于是
.
同理,有
,
,
,
.
（2）因为
,所以事件包含事件R；
因为
,所以事件R与事件G互斥；
因为
,
,所以事件M与事件N互为对立事件.
（3）因为
,所以事件M是事件R与事件G的并事件；
因为
,所以事件R是事件与事件的交事件.
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【题目】已知抛物线
的顶点在原点，焦点在
轴上，且抛物线上有一点
到焦点的距离为5.
（1）求该抛物线的方程；
（2）已知抛物线上一点
，过点
作抛物线的两条弦
和
，且
，判断直线
是否过定点？并说明理由.
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【题目】某学校有高中学生500人，其中男生320人，女生180人.有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为173.5，方差为17，女生样本的均值为163.83，方差为30.03.
（1）根据以上信息，能够计算出总样本的均值和方差吗？为什么？
（2）如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗？
（3）如果已知男、女的样本量都是25，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗？它们分别作为总体均值和方差的估计合适吗？为什么？
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【题目】已知顶点是坐标原点的抛物线
的焦点
在
轴正半轴上，圆心在直线
上的圆
与
轴相切，且
关于点
对称．
（1）求和
的标准方程；
（2）过点
的直线
与交于
，与交于
，求证：
．
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【题目】在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数）.在以原点
为极点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
的极坐标方程为
.
（1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于
两点，求
.
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【题目】已知函数
（
且
）.
（1）判断函数
的奇偶性并说明理由；
（2）当
时，判断函数在
上的单调性，并利用单调性的定义证明；
（3）是否存在实数
，使得当的定义域为
时，值域为
？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
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【题目】在直角坐标系
中，
是过定点
且倾斜角为
的直线；在极坐标系（以坐标原点
为极点，以
轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线
的极坐标方程为
.
（1）写出直线的参数方程，并将曲线的方程化为直角坐标方程；
（2）若曲线与直线相交于不同的两点
，求
的取值范围.
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