Question

【题目】已知函数的定义域为，对于任意的，都有且当时，，若.

(1)求证：为奇函数；

(2)求证: 是上的减函数；

(3)求函数在区间[-2,4]上的值域.

Answer 1

【答案】(1)见解析,(2)见解析,(3) [-8,4]

【解析】

（1）先利用特殊值法，求证f（0）＝0，令y＝﹣x即可求证；

（2）由（1）得f（x）为奇函数，f（﹣x）＝﹣f（x），利用定义法进行证明；

（3）由函数为减函数，求出f（﹣2）和f（4）继而求出函数的值域，

（1）∵f（x）的定义域为R，令x＝y＝0，则f（0+0）＝f（0）+f（0）＝2f（0），

∴f（0）＝0．

令y＝﹣x，则f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x），

即f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0．

∴f（﹣x）＝﹣f（x），故f（x）为奇函数．

（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，

则f（x2）﹣f（x1）＝f（x2）+f（﹣x1）＝f（x2﹣x1）．

又∵x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＜0，

∴f（x2）﹣f（x1）＜0，

即f（x1）＞f（x2）．

故f（x）是R上的减函数．

（3）∵f（﹣1）＝2，∴f（﹣2）＝f（﹣1）+f（﹣1）＝4．

又f（x）为奇函数，∴f（2）＝﹣f（﹣2）＝﹣4，

∴f（4）＝f（2）+f（2）＝﹣8．

由（2）知f（x）是R上的减函数，

所以当x＝﹣2时，f（x）取得最大值，最大值为f（﹣2）＝4；

当x＝4时，f（x）取得最小值，最小值为f（4）＝﹣8．

所以函数f（x）在区间[﹣2，4]上的值域为[﹣8，4]．