Question

13．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M在$\overline{A{C}_{1}}$上且$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{M{C}_{1}}$，N为B₁B的中点，则|$\overrightarrow{MN}$|为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{15}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{6}$
• C． $\frac{\sqrt{21}}{6}$
• D． $\frac{\sqrt{15}}{3}$

Answer 1

分析 以AB，AD，AA₁，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，确定向量 $\overrightarrow{AM}$、$\overrightarrow{AN}$的坐标，可得 $\overrightarrow{MN}$的坐标，从而可得|$\overrightarrow{MN}$|．

解答 解：以AB，AD，AA₁，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），B₁（1，0，1），C₁（1，1，1）
∴$\overrightarrow{{AC}_{1}}$=（1，1，1）
∵$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{AC}_{1}}$，∴$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$），
∵点N为B₁B的中点，
∴$\overrightarrow{AN}$=（1，0，$\frac{1}{2}$）
∴$\overrightarrow{MN}$=（$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{6}$）
∴|$\overrightarrow{MN}$|=$\sqrt{（{\frac{2}{3}）}^{2}+（-\frac{1}{3}）^{2}+（\frac{1}{6}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{6}$
故选C．

点评 本题考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，确定向量的坐标是关键．