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    设P为椭圆
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    上的一个点，过点P作椭圆的切线与⊙O：x2+y2=12相交于M，N两点，⊙O在M，N两点处的切线相交于点Q．（1）若点P坐标为(m，
    3
    2
    )    ，求直线MN的方程．（2）若P为椭圆上的一个动点，求点Q的轨迹方程．
    分析：（1）因为P为椭圆上的一点，所以把y=
    3
    2
    代入椭圆，可求P点坐标，进而分类讨论：当P点为（1，
    3
    2
    ）时，因为直线MN是过P点，且与椭圆相切的，直线方程与椭圆
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    联立，判别式等于0，可求直线侧斜率；同理可求当P点为（-1，
    3
    2
    ）时，直线的方程；
    （2）设点P（x0，y0），Q（x1，y1），可得椭圆
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    在P处的切线方程为
    x0x
    4
    +
    y0 y
    3
    =1    ，又可知切点弦MN所在直线的方程为x1x+y1y=12，由于表示相同直线，故可得坐标关系，从而可求点Q的轨迹方程．
    解答：解：（1）因为P为椭圆上的一点，所以把y=
    3
    2
    代入椭圆，得横坐标为1或-1
    所以P点坐标（1，
    3
    2
    ）或（-1，
    3
    2
    ）
    当P点为（1，
    3
    2
    ）时，因为直线MN是过P点，且与椭圆相切的，所以设y-1.5=k（x-1），与椭圆
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    联立，判别式等于0，即（4k2+3）x2+（-8k2+12k）x+（4k2-12k-3）=0，则k=-0.5，所以直线MN为x+2y-4=0
    当P点为（-1，
    3
    2
    ）时，因为直线MN是过P点，且与椭圆相切的，所以设y-1.5=k（x+1），与椭圆
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    联立，判别式等于0，即（4k2+3）x2+（8k2+12k）x+（4k2+12k-3）=0，则k=0.5，所以直线MN为x-2y+2=0
    （2）设点P（x0，y0），Q（x1，y1）
    ∵P为椭圆
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    上的一个点，∴
    x 02
    4
    +
    y 02
    3
    =1
    ∵椭圆
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    在P处的切线方程为
    x0x
    4
    +
    y0 y
    3
    =1
    又QM，QN为过点Q所引的⊙O：x2+y2=12的两条切线，可知切点弦MN所在直线的方程为x1x+y1y=12
    ∴
    x0
    4
    x1
    =
    y0
    3
    y1
    =
    1
    12

    故x0=
    x1
    3
    ，y0=
    y1
    4

    ∴
    x
    2
    1
    36
    +
    y
    2
    1
    48
    =1
    ∴点Q的轨迹方程
    x
    2
     
    36
    +
    y
    2
     
    48
    =1    ．
    点评：本题以圆与椭圆为载体，综合考查轨迹问题，考察学生分析解决问题的能力，难度较大．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设圆C1：x2+y2-10x-6y+32=0，动圆C2：x2+y2-2ax-2（8-a）y+4a+12=0，
    （Ⅰ）求证：圆C1、圆C2相交于两个定点；
    （Ⅱ）设点P是椭圆
    x24
    +y2=1    上的点，过点P作圆C1的一条切线，切点为T1，过点P作圆C2的一条切线，切点为T2，问：是否存在点P，使无穷多个圆C2，满足PT1=PT2？如果存在，求出所有这样的点P；如果不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：
    x24
    +y2    =1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、BP与直线l：y=-2分别交于点M、N；
    （I）设直线AP、BP的斜率分别为k1，k2求证：k1•k2为定值；
    （Ⅱ）求线段MN长的最小值；
    （Ⅲ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•江苏二模）如图，已知椭圆C：
    x2
    4
    +y2=1    ，A、B是四条直线x=±2，y=±1所围成的两个顶点．
    （1）设P是椭圆C上任意一点，若
    OP
    =m
    OA
    +n
    OB
    ，求证：动点Q（m，n）在定圆上运动，并求出定圆的方程；
    （2）若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，双曲线C1：
    x2
    4
    -
    y2
    b2
    =1    与椭圆C2：
    x2
    4
    +
    y2
    b2
    =1    （0＜b＜2）的左、右顶点分别为A1、A2第一象限内的点P在双曲线C1上，线段OP与椭圆C2交于点A，O为坐标原点．
    （I）求证：
    kAA1+kAA2
    kPA1+kPA2
    为定值（其中kAA1表示直线AA1的斜率，kAA2等意义类似）；
    （II）证明：△OAA2与△OA2P不相似．
    （III）设满足{（x，y）|
    x2
    4
    -
    y2
    m2
    =1    ，x∈R，y∈R}⊆{（x，y）|
    x2
    4
    -
    y2
    3
    ＞1    ，x∈R，y∈R} 的正数m的最大值是b，求b的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•重庆一模）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为椭圆
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1d的右焦点，点A、B为抛物线上的两点，O是抛物线的顶点，OA⊥OB．
    （I）求抛物线的标准方程；
    （Ⅱ）求证：直线AB过定点M（4，0）；
    （III）设弦AB的中点为P，求点P到直线x-y=0的最小值．

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