Question

1．已知二次函数y=f（x）满足条件f（0）=$\frac{1}{2}$m和f（x+1）-f（x-1）=4x-2m
（1）求f（x）的解析式；
（2）当y=f（x）的图象与x轴有两个交点时，这两个交点是否可能在点（$\frac{1}{2}$，0）的两侧．

Answer 1

分析 （1）据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得答案；
（2）根据f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$＞0，可得y=f（x）的图象与x轴有两个交点不可能在点（$\frac{1}{2}$，0）的两侧．

解答 解：设y=f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=c=$\frac{1}{2}$m，f（x+1）-f（x-1）=4x-2m，
∴a（x+1）²+b（x+1）+c-[a（x-1）²+b（x-1）+c]=4ax+2b=4x-2m，
∴4a=4，2b=-2m，
解得a=1，b=-m，
函数f（x）的表达式为f（x）=x²-mx+$\frac{1}{2}$m
（2）由（1）中f（x）=x²-mx+$\frac{1}{2}$m，
∵f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$＞0，
故y=f（x）的图象与x轴有两个交点不可能在点（$\frac{1}{2}$，0）的两侧．

点评 本题考查利用待定系数法求函数模型已知的函数解析式，二次函数的图象和性质，难度中档．