Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x≤0}\\{lnx，x＞0}\end{array}\right.$，g（x）=f（f（x）-k）+1有5个零点，则实数k的取值范围为0＜k≤1．

Answer 1

分析 作出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x≤0}\\{lnx，x＞0}\end{array}\right.$的图象如图所示，f（x）=-1时，x=-1或$\frac{1}{e}$，由g（x）=f（f（x）-k）+1=0，可得f（x）-k=-1或$\frac{1}{e}$，从而f（x）=k-1或k+$\frac{1}{e}$，根据图象建立不等式，即可得出结论．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x≤0}\\{lnx，x＞0}\end{array}\right.$的图象如图所示．
f（x）=-1时，x=-1或$\frac{1}{e}$，
g（x）=f（f（x）-k）+1=0，
∴f（x）-k=-1或$\frac{1}{e}$，
∴f（x）=k-1或k+$\frac{1}{e}$，
∵g（x）=f（f（x）-k）+1有5个零点，
∴-1＜k-1≤0且k+$\frac{1}{e}$＞0，
∴0＜k≤1，
故答案为：0＜k≤1．

点评 本题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，正确作出函数的图象是关键．