Question

已知f（x）是二次函数，关于x的方程mf²（x）+nf（x）+p=0（m，n，p为实数）有4个不同的实数根，且它们从小到大的顺序为：x₁＜x₂＜x₃＜x₄，则x₁-x₂-x₃+x₄的值为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：关于x的方程mf²（x）+nf（x）+p=0的解必是f（x）=k₁与f（x）=k₂的解，不妨设k₁＞k₂，则由题意f（x）=k₁的解为x₁，x₄；f（x）=k₂的解为x₂，x₃，则x₁+x₄=x₂+x₃，进而得到答案．

解答： 解：设关于k的方程mk²+nk+p=0的两个根为k₁，k₂，不妨设k₁＞k₂，
则关于x的方程mf²（x）+nf（x）+p=0的解必是f（x）=k₁与f（x）=k₂的解，
∵x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
∴可令f（x）=k₁的解为x₁，x₄；f（x）=k₂的解为x₂，x₃，
由韦达定理可得：
x₁+x₄=x₂+x₃=-

b

a

（其中a，b分别为二次函数f（x）的二次项和一次项系数）
∴x₁-x₂-x₃+x₄=0，
故答案为：0

点评：本题考查的知识点是方程的根，二次函数图象和性质，其中将关于x的方程mf²（x）+nf（x）+p=0的解转化f（x）=k₁与f（x）=k₂的解，是解答的关键．