Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，菱形ABCD的对角线交于点O，E、F分别是PC、DC的中点．平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD．
求证：
（1）平面EFO∥平面PDA；
（2）PD⊥平面ABCD．
（3）平面PAC⊥平面PDB．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质可得O是AC的中点，结合E、F分别是PC、DC的中点和三角形的中位线定理及线面平行的判定定理，可得EF∥面PAD，同理：FO∥面PAD，再由面面平行的判定定理得到答案．
（2）由平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD，结合面面垂直的性质定理可得PD⊥平面ABCD．
（3）要证明平面PAC⊥平面PDB，只要证明AC⊥平面PBD，而根据已知条件可以求出．

解答 证明：（1）∵ABCD是菱形，
∴O是AC的中点
∵E、F分别是PC、DC的中点，
∴EF∥PD，
又EF?平面面PAD，PD?面PAD，
∴EF∥面PAD，
同理：FO∥面PAD，
而EF∩FO=O，EF、FO?面EFO，
∴平面EFO∥平面PDA；
（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD，
平面平面PAD∩平面ABCD=AD，PD?平面PAD，
∴PD⊥平面ABCD；
（3）∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
又∵PD∩BD=D，PD，BD?平面PBD，
∴AC⊥平面PBD，
又AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PDB．

点评 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定定理，平面与平面垂直的性质定理，直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理，是空间线面关系判定的综合应用，难度中档．