Question

7．已知函数f（x）=$\frac{x-c}{{x}^{2}+1}$，其中c为常数，且函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数．
（1）求c的值；
（2）证明函数f（x）在（-1，1）上是单调递增函数；
（3）求关于m的不等式：f（2m-1）＜f（m+$\frac{1}{2}$）的解集．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的性质，利用f（0）=0进行求解；
（2）根据定义法证明函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）根据单调性的性质将不等式进行转化即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴f（0）=0，即-c=0，则c=0；
（2）∵c=0，∴f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，
证明：对于任意的x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
$\begin{array}{l}f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{x_1}{1+x_1^2}-\frac{x_2}{1+x_2^2}=\frac{{{x_1}（{1+x_2^2}）-{x_2}（{1+x_1^2}）}}{{（{1+x_1^2}）（{1+x_2^2}）}}\\=\frac{{（{{x_1}-{x_2}}）+{x_1}{x_2}（{{x_2}-{x_1}}）}}{{（{1+x_1^2}）（{1+x_2^2}）}}=\frac{{（{{x_1}-{x_2}}）（{1-{x_1}{x_2}}）}}{{（{1+x_1^2}）（{1+x_2^2}）}}\end{array}$，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴${x_1}-{x_2}＜0，（{1+x_1^2}）（{1+x_2^2}）＞0$，
∴x₁x₂＜1，∴1-x₁x₂＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数$f（x）=\frac{x}{{1+{x^2}}}$在（-1，1）上是增函数．
（3）∵f（x）在（-1，1）上是单调递增函数，
∴f（2m-1）＜f（m+$\frac{1}{2}$）的解集．
等价为$\left\{\begin{array}{l}{-1＜2m-1＜1}\\{-1＜m+\frac{1}{2}＜1}\\{2m-1＜m+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{0＜m＜1}\\{-\frac{3}{2}＜m＜\frac{1}{2}}\\{m＜\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得0＜m＜$\frac{1}{2}$．
即不等式的解集为（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查函数奇偶性的性质以及函数单调性的证明，利用定义法是解决本题的关键．