Question

19．已知实数x、y满足方程y²=x，求函数z=$\frac{y-1}{x+2}$最值．

Answer 1

分析 作出抛物线y²=x的图形，由函数z=$\frac{y-1}{x+2}$的几何意义是抛物线上的点（x，y）与定点（-2，1）的斜率．设出切线的方程，联立抛物线的方程，运用判别式为0，解方程即可得到所求的最值．

解答 解：作出抛物线y²=x的图形，
函数z=$\frac{y-1}{x+2}$的几何意义是抛物线上的点（x，y）
与定点（-2，1）的斜率．
过点（-2，1）作抛物线的切线，
设方程为y-1=k（x+2），即y=kx+2k+1，
代入抛物线的方程，
可得k²x²+（4k²+2k-1）x+（2k+1）²=0，
由相切的条件可得，△=（4k²+2k-1）²-4k²（2k+1）²=0，
解方程可得k=$\frac{-1±\sqrt{3}}{4}$．
则函数z的最小值为$\frac{-1-\sqrt{3}}{4}$，最大值为$\frac{-1+\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用几何意义：直线的斜率，同时考查直线和抛物线相切的条件，考查运算能力，属于中档题．