Question

14．已知cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=$\frac{1}{3}$，β∈（$\frac{3π}{2}$，2π），求cos（β-$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 由已知及两角差的余弦函数公式可求cosβ=$\frac{1}{3}$，结合范围β∈（$\frac{3π}{2}$，2π），利用同角三角函数基本关系式可求sinβ，由特殊角的三角函数值及两角差的余弦函数公式即可求值．

解答 解：∵cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=cos[（α+β）-α]=cosβ=$\frac{1}{3}$，
∵β∈（$\frac{3π}{2}$，2π），
∴sinβ=-$\sqrt{1-co{s}^{2}β}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cos（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosβ+sinβ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\frac{1}{3}-\frac{2\sqrt{2}}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}-4}{6}$．

点评 本题主要考查了两角差的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值等知识在三角函数求值中的综合应用，考查了计算能力，属于基础题．