Question

6．设0＜x_n＜1，x_n+1=1-$\sqrt{1-{x}_{n}}$（n∈N），求$\underset{lim}{n→∞}$x_n．

Answer 1

分析 由题意可得1-x_n+1=$\sqrt{1-{x}_{n}}$，即为lg（1-x_n+1）=$\frac{1}{2}$lg（1-x_n），运用等比数列的定义和通项公式可得通项，在意数列极限的求法，即可得到所求值．

解答 解：0＜x_n＜1，x_n+1=1-$\sqrt{1-{x}_{n}}$（n∈N），
可得1-x_n+1=$\sqrt{1-{x}_{n}}$，
即为lg（1-x_n+1）=$\frac{1}{2}$lg（1-x_n），
则{lg（1-x_n）}为$\frac{1}{2}$为公比，lg（1-x₁）为首项的等比数列，
则lg（1-x_n）=lg（1-x₁）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
即有1-x_n=$（1-{x}_{1}）^{\frac{1}{{2}^{n-1}}}$，即x_n=1-$（1-{x}_{1}）^{\frac{1}{{2}^{n-1}}}$，
则$\underset{lim}{n→∞}$x_n=$\underset{lim}{n→∞}$[1-$（1-{x}_{1}）^{\frac{1}{{2}^{n-1}}}$]
=1-（1-x₁）⁰=1-1=0．

点评 本题考查数列的极限的求法，考查数列的通项的求法，运用等比数列的定义和通项公式，考查运算能力，属于中档题．