Question

5．已知数列{a_n}的前n项和${S_n}={n^2}$，数列{b_n}满足b₂=2，b_n+1=2b_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）记数列{a_nb_n}的前n项和为T_n，求T_n＜230时的n的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用数列的前n项和公式，通过a_n=S_n-S_n-1求出通项公式；判断数列{b_n}是等比数列，求解通项公式即可．
（2）求出数列{a_nb_n}的通项公式，利用错位相减法求出前n项和为T_n，利用表达式求解即可．

解答 解：（1）当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={n^2}-{（n-1）^2}=2n-1$，…（3分）
又a₁=S₁=1满足上式，∴a_n=2n-1、…（5分）
又b_n+1=2b_n，所以{b_n}是公比为2的等比数列，${b_n}={2^{n-1}}$、…（7分）
（2）${T_n}=1•1+3•2+5•{2^2}+…+（2n-1）•{3^{n-1}}①$…（8分）$2{T_n}=1•2+3•{2^2}+5•{2^3}+…+（2n-1）•{3^n}②$…（10分）
①-②得，$-{T_n}=1+2•2+2•{2^2}+…+2•{2^{n-1}}-（2n-1）•{2^n}$=$1+\frac{{4（1-{2^{n-1}}）}}{1-2}-（2n-1）•{2^n}=1+{2^{n+1}}-4-（2n-1）•{2^n}=（3-2n）•{2^n}-3$…（13分）
所以${T_n}=（2n-3）•{2^n}+3$、…（14分）
由${T_n}=（2n-3）•{2^n}+3＜230$得n≤5，
所以n的最大值为5．…（16分）

点评 本题考查数列的通项公式以及数列的前n项和的求法，不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．