Question

14．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，点（4，2）在C上．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，且直线l与双曲线C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用双曲线的离心率，以及双曲线经过的点，求解双曲线的几何量，然后得到双曲线的方程．
（Ⅱ）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x_M，y_M），联立直线方程与双曲线方程，通过韦达定理求解K_OM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．

解答 （Ⅰ）解：由题意得，$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，$\frac{16}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，
∴a=2$\sqrt{2}$，b=2，
∴双曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）证明：设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x_M，y_M），
把直线y=kx+b代入$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1可得（1-2k²）x²-4kbx-2b²-8=0，
故x_M=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{2kb}{1-2{k}^{2}}$，y_M=kx_M+b=$\frac{b}{1-2{k}^{2}}$，
于是在OM的斜率为：K_OM=$\frac{1}{2k}$，即K_OM•k=$\frac{1}{2}$．
∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．

点评 本题考查双曲线方程的综合应用，双曲线的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．