Question

6．（1）解关于x的不等式：$\frac{ax-1}{x-1}＞a$；
（2）记（1）中不等式的解集为 A，若 A⊆R⁺，证明：2a³+4a≥5a²+1．

Answer 1

分析 （1）$\frac{ax-1}{x-1}＞a$化为：（a-1）（x-1）＞0，对a分类讨论即可得出；
（2）由于A⊆R⁺，因此取A=[1，+∞）．则a≥1，作差2a³+4a-（5a²+1）=（2a-1）（a-1）²，即可证明．

解答 （1）解：$\frac{ax-1}{x-1}＞a$化为：（a-1）（x-1）＞0，当a＞1时，不等式的解集为（1，+∞）；
当a=1时，不等式的解集为∅；
当a＜1时，不等式的解集为（-∞，1）．
（2）证明：∵A⊆R⁺，
∴取A=[1，+∞）．
即a≥1，
∴2a³+4a-（5a²+1）=（2a-1）（a-1）²≥0．
∴2a³+4a≥5a²+1．

点评 本题考查了分式不等式的解法、“作差法”、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．