Question

11．已知直线y=-x+m与圆x²+y²=1交于A，B两点，|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=1，其中O为坐标原点，则实数m的值为±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知可得|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，设$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夹角为θ，由|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=1，可得：cosθ=$-\frac{1}{2}$，由余弦定理求出AB长，进而求出圆心到直线的距离，代入点到直线距离公式，可得实数m的值．

解答 解：∵直线y=-x+m与圆x²+y²=1交于A，B两点，
∴|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，
设$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夹角为θ，
∵|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=1，
∴|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|²=$\overrightarrow{OA}$²+2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OB}$²=2+2cosθ=1，
∴cosθ=$-\frac{1}{2}$，
则AB=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}-2×1×1×cosθ}$=$\sqrt{3}$，
则圆心到AB的距离d=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{\left|m\right|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
解得：m=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：±$\frac{\sqrt{2}}{2}$

点评 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，向量的模，向量的夹角，点到直线的距离公式，难度中档．