Question

2．函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）+cos（x+$\frac{π}{6}$）的值域是（　　）

• A． [-2，2]
• B． [-1，1]
• C． [-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]
• D． [-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 由条件利用两角和差的三角公式，辅助角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的值域求得f（x）的值域．

解答 解：函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）+cos（x+$\frac{π}{6}$）=sinx•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+cosx•$\frac{1}{2}$+cosx•$\frac{\sqrt{3}}{2}$-sinx•$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$cosx=$\sqrt{2}$•（sinx$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$+$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$cosx）=sin（x+θ），
其中，cosθ=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，sinθ=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
故函数的值域为[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
故选：C．

点评 本题主要考查两角和差的三角公式，辅助角公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．