Question

12．已知函数f（x）=x²-2ax+2，x∈[-5，5]
（1）求实数a的取值范围，使y=f（x）在定义域上是单调递减函数；
（2）用g（a）表示函数y=f（x）的最小值，求g（a）的解析式．

Answer 1

分析 （1）可求出f（x）的对称轴为x=a，而要使y=f（x）在[-5，5]上单调递减，则需满足a≥5，这便得到了a的取值范围；
（2）可讨论对称轴x=a和区间[-5，5]的关系：分a≤-5，-5＜a＜5，和a≥5三种情况，然后根据f（x）在[-5，5]上的单调性及取得顶点情况求出每种情况的f（x）的最小值，从而便可得出g（a）的解析式．

解答 解：（1）函数f（x）的对称轴为x=a；
∵f（x）在[-5，5]上是单调递减函数；
∴a≥5；
∴实数a的取值范围为[5，+∞）；
（2）①当a≤-5时，f（x）在[-5，5]上单调递增；
∴f（x）_min=f（-5）=27+10a；
②当-5＜a＜5时，$f（x）_{min}=f（a）=-{a}^{2}+2$；
③当a≥5时，f（x）在[-5，5]上单调递减；
∴f（x）_min=f（5）=27-10a；
∴$g（a）=\left\{\begin{array}{l}{27+10a}&{a≤-5}\\{-{a}^{2}+2}&{-5＜a＜5}\\{27-10a}&{a≥5}\end{array}\right.$．

点评 考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，以及根据二次函数的单调性及取得顶点情况求其在闭区间上的最小值的方法．