Question

17．已知数列{a_n}的前n项的和S_n=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n．
（1）求{a_n}的通项公式a_n；
（2）当n≥2时，a_n+1+$\frac{λ}{{a}_{n}}$≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系即可得出；
（2）变形利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n，
∴当n=1时，a₁=$\frac{3}{2}-\frac{1}{2}$=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n-$[\frac{3}{2}（n-1）^{2}-\frac{1}{2}（n-1）]$=3n-2．
当n=1时，上式成立，∴a_n=3n-2．
（2）a_n+1+$\frac{λ}{{a}_{n}}$≥λ，即3n+1+$\frac{λ}{3n-2}$≥λ，化为：λ≤$\frac{1}{3}$$[9（n-1）+\frac{4}{n-1}+15]$，
∵当n≥2时，a_n+1+$\frac{λ}{{a}_{n}}$≥λ恒成立，
∴λ≤$\frac{1}{3}[9（n-1）+\frac{4}{n-1}+15]_{min}$，
∵$[9（n-1）+\frac{4}{n-1}+15]$≥$2\sqrt{9（n-1）×\frac{4}{n-1}}$+15，
取整数n=2时，$\frac{1}{3}[9（n-1）+\frac{4}{n-1}+15]_{min}$=$\frac{28}{3}$．
∴λ≤$\frac{28}{3}$．
∴实数λ的取值范围是λ≤$\frac{28}{3}$．

点评 本题考查了递推关系、数列的单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．