Question

8．已知函数f（x）=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$（a＞1）
（Ⅰ）判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）判断其单调性；
（Ⅲ）求其值域．

Answer 1

分析 （1）直接运用奇偶性的定义判断f（x）为奇函数；
（2）先将函数式裂项为f（x）=1-$\frac{2}{a^x+1}$，再根据指数函数的性质判断f（x）的单调性；
（3）根据指数函数的值域，确定f（x）的值域．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为R，
且f（-x）=$\frac{{a}^{-x}-1}{{a}^{-x}+1}$=$\frac{1-a^x}{1+a^x}$=-$\frac{a^x-1}{a^x+1}$=-f（x），
∴f（x）是奇函数；
（2）f（x）=$\frac{a^x-1}{a^x+1}$=1-$\frac{2}{a^x+1}$，
∵a＞1时，∴函数y=a^x在R上单调递增，
∴y=$\frac{2}{a^x+1}$单调递减，因此，y=-$\frac{2}{a^x+1}$单调递增，
故f（x）=1-$\frac{2}{a^x+1}$在R上是增函数；
（3）由f（x）=1-$\frac{2}{a^x+1}$，
∵a^x＞0，∴a^x+1＞1，
因此，$\frac{2}{a^x+1}$∈（0，2），
所以，1-$\frac{2}{a^x+1}$∈（-1，1），
故函数f（x）的值域为：（-1，1）．

点评 本题主要考查了函数奇偶性的判断和证明，函数单调性的判断和函数值域的解法，涉及指数函数的图象和性质，属于中档题．