Question

19．已知$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=1$，$∠AOB=\frac{2π}{3}$，$\overrightarrow{OP}$=$2\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$，则$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OP}$上的投影的取值范围$（-\frac{1}{2}，1]$．

Answer 1

分析 由已知求出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$，再求出$|\overrightarrow{OP}|$，代入投影公式，转化为关于t的函数，利用换元法结合配方法求得$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OP}$上的投影的取值范围．

解答 解：∵$\overrightarrow{OP}$=$2\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$，且$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=1$，$∠AOB=\frac{2π}{3}$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}•（2\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}）$=$2|\overrightarrow{OA}{|}^{2}+t|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|cos\frac{2π}{3}$=$2+（-\frac{1}{2}）t$=$2-\frac{t}{2}$．
$|\overrightarrow{OP}{|}^{2}=（2\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}）^{2}$=$4|\overrightarrow{OA}{|}^{2}+4t|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|cos\frac{2π}{3}+{t}^{2}|\overrightarrow{OB}{|}^{2}$=4-2t+t²．
∴$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OP}$上的投影等于$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{OP}|}$=$\frac{2-\frac{t}{2}}{\sqrt{4-2t+{t}^{2}}}=\frac{1}{2}•\frac{4-t}{\sqrt{4-2t+{t}^{2}}}$．
令4-t=m，则t=4-m，t²=16-8m+m²．
∴上式=f（m）=$\frac{1}{2}•\frac{m}{\sqrt{{m}^{2}-6m+12}}$．
当m=0时，f（m）=0；
当m＞0时，f（m）=$\frac{1}{2}•\sqrt{\frac{{m}^{2}}{{m}^{2}-6m+12}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{12（\frac{1}{{m}^{2}}）-6（\frac{1}{m}）+1}}$∈（0，1]；
当m＜0时，f（m）=-$\frac{1}{2}•\sqrt{\frac{{m}^{2}}{{m}^{2}-6m+12}}$=-$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{12（\frac{1}{{m}^{2}}）-6（\frac{1}{m}）+1}}$∈（$-\frac{1}{2}$，0）．
综上，$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OP}$上的投影的范围为（-$\frac{1}{2}$，1]．
故答案为：（-$\frac{1}{2}$，1]．

点评 本题考查向量在几何中的应用，综合考查向量的线性运算，向量的数量积的运算及数量积公式，熟练掌握向量在向量上的投影是解题的关键，是中档题．