Question

9．如图所示，正方体的棱长为2，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么M到截面ABCD的距离是$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 延长BC，AD与过M的正方体的竖直的棱的延长线交于F．取AB的中点E，连接ME，EF．过M做EF⊥MO，与EF交于O点，利用三角形的面积公式可求得答案．

解答 解：延长BC，AD与过M的正方体的竖直的棱的延长线交于F．取AB的中点E，连接ME，EF．过M做EF⊥MO，与EF交于O点．
由题知，ME⊥AB．又因为AF=BF，AE=BE；
所以AB⊥EF．
所以AB⊥面EMF．所以AB⊥MO．因为MO⊥EF，AB∩EF=O．
所以MO⊥面ABCD．
所以MO是M到面ABCD的距离．
AM=2，推出ME=$\sqrt{2}$，
又D为中点，正方体的棱长为2，
可求FM=4，
所以EF=$\sqrt{E{M}^{2}+F{M}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
所以MO=$\frac{ME•MF}{EF}$=$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查了点、线、面间的距离计算．考查了学生对立体几何知识的理解和运用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．