Question

14．已知函数f（x）对任意的x，y∈R，总有f（x+y）=f（x）+f（y）+1，
（1）设函数g（x）=f（x）+1，判断函数g（x）的奇偶性并证明；
（2）若x＜0时恒有f（x）＞-1，判断函数f（x）的单调性并证明．

Answer 1

分析 （1）根据条件能得出g（x+y）=g（x）+g（y），再用奇偶性的定义加以证明；
（2）直接运用单调性的定义和作差比较法证明函数的单调性．

解答 解：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y）+1，
∴f（x+y）+1=[f（x）+1]+[f（y）+1]，（*）
而g（x）=f（x）+1，则（*）式可以表示为：
g（x+y）=g（x）+g（y），可以判断y=g（x）为R上的奇函数，证明如下：
令x=y=0得，g（0）=g（0）+g（0），所以，g（0）=0，
再令y=-x得，g（0）=g（x）+g（-x），所以，g（-x）=-g（x），
因此，g（x）为奇函数；
（2）f（x）为R上单调递减函数，证明如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）
=f（x₁-x₂）+f（x₂）+1-f（x₂）
=f（x₁-x₂）+1，
∵x₁-x₂＜0，∴f（x₁-x₂）＞-1，
故f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
所以f（x）为R上的单调递减函数．

点评 本题主要考查了抽象函数奇偶性的判断和证明，抽象函数单调性的判断和证明，运用了定义和作差比较法，属于中档题．