Question

4．已知函数f（x）=$\frac{tanxtan2x}{tan2x-tanx}$+$\sqrt{3}$（sin²x-cos²x），
（1）把f（x）的表达式化简为Asin（ωx+φ）的形式；
（2）求f（x）在[0，π]的单凋递减区间和最大值及相应的x的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）；
（2）解2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可得单凋递减区间，可得最值和相应的x值．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得：
f（x）=$\frac{tanxtan2x}{tan2x-tanx}$+$\sqrt{3}$（sin²x-cos²x）
=$\frac{tan2x}{\frac{2}{1-ta{n}^{2}x}-1}$-$\sqrt{3}$cos2x=tan2x•$\frac{1-ta{n}^{2}x}{1+ta{n}^{2}x}$-$\sqrt{3}$cos2x
=$\frac{2tanx}{1-ta{n}^{2}x}$•$\frac{1-ta{n}^{2}x}{1+ta{n}^{2}x}$-$\sqrt{3}$cos2x=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）；
（2）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可解得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，k∈Z，
∴当k=0时可得f（x）在[0，π]的单凋递减区间为[$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]，
当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{5π}{12}$时，函数取最大值2，故相应的x值为$\frac{5π}{12}$

点评 本题考查三角函数的最值，涉及三角函数恒等变换和三角函数的单调性，属中档题．