Question

4．无穷等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₃=6，S₆=3，则$\underset{lim}{n→∞}{S}_{n}$=$\frac{8+4\root{3}{4}}{2+\root{3}{4}}$．

Answer 1

分析 利用等比数列前n项和公式求出首项及公比，由此能求出等比数列的前n项和的极限．

解答 解：∵无穷等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₃=6，S₆=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{3}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}=6}\\{{S}_{6}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}=3}\end{array}\right.$，解得${a}_{1}=4+2\root{3}{4}$，q=-$\frac{\root{3}{4}}{2}$，
∴S_n=$\frac{（4+2\root{3}{4}）[1-（-\frac{\root{3}{4}}{2}）^{n}]}{1+\frac{\root{3}{4}}{2}}$，
∴$\underset{lim}{n→∞}{S}_{n}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{（4+2\root{3}{4}）[1-（-\frac{\root{3}{4}}{2}）^{n}]}{1+\frac{\root{3}{4}}{2}}$=$\frac{4+2\root{3}{4}}{1+\frac{\root{3}{4}}{2}}$=$\frac{8+4\root{3}{4}}{2+\root{3}{4}}$．
故答案为：$\frac{8+4\root{3}{4}}{2+\root{3}{4}}$．

点评 本题考查等比数列的前n项和的极值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．