Question

14．定义一个对应法则f：P（m，n）→P′$（\sqrt{m}，\sqrt{n}）$，（m≥0，n≥0）．现有点A（3，9）与点B（9，3），点M是线段AB上一动点，按定义的对应法则f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为$\frac{\sqrt{3}π}{3}$．

Answer 1

分析 确定AB的方程，求出M′的轨迹满足的方程，利用弧长公式，即可求得结论．

解答 解：由题意知AB的方程为：AB：x+y=12，3≤x≤9，
设M的坐标为（x₀，y₀），因为M在AB上，可以得到x₀+y₀=12，3≤x≤9
而由题意可知，M′的坐标为（x，y），则x=$\sqrt{{x}_{0}}$，y=$\sqrt{{y}_{0}}$，
∴M′的轨迹满足的方程就是x²+y²=12，其中-$\sqrt{3}$≤x≤3
因为要求x＞0，y＞0，所以M′轨迹的两个端点是A（$\sqrt{3}$，3）和B（3，$\sqrt{3}$）
∴∠AOx=30°，∠BOx=60°，即M′的轨迹为圆心角为30°的弧，
∴M′所经过的路线长为$\frac{π}{6}×\sqrt{12}$=$\frac{\sqrt{3}π}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}π}{3}$．

点评 本题考查轨迹方程的确定，考查弧长公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．