Question

5．如图，椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的左、右两个焦点分别为F₁、F₂，A为椭圆的右顶点，点P在椭圆上且∠PF₁F₂=arccos$\frac{7}{8}$
（1）计算|PF₁|的值x
（2）求△PF₁A的面积．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的性质，可得|PF₁|=x，则|PF₂|=10-x，|F₁F₂|=2$\sqrt{25-9}$=8，结合已知可余弦定理构造方程，解得x值；
（2）由出sin∠PF₁F₂，进而计算△PF₁F₂的面积，可得P到x轴的距离d，结合△PF₁A的底边|F₁A|=a+c=9，可得三角形面积．

解答 解：（1）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的左、右两个焦点分别为F₁、F₂，P为椭圆上一点，
|PF₁|=x，则|PF₂|=10-x，|F₁F₂|=2$\sqrt{25-9}$=8，
∵∠PF₁F₂=arccos$\frac{7}{8}$，
故cos∠PF₁F₂=$\frac{7}{8}$=$\frac{{x}^{2}+{8}^{2}-{（10-x）}^{2}}{2×8x}$，
解得：x=6，
（2）由∠PF₁F₂=arccos$\frac{7}{8}$，可得：sin∠PF₁F₂=$\sqrt{1-（\frac{7}{8}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，
故△PF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{\sqrt{385}}{5}$）•（5-$\frac{\sqrt{385}}{5}$）•$\frac{\sqrt{15}}{8}$=$\frac{7\sqrt{15}}{20}$，
故P到x轴的距离d=$\frac{2S}{8}$=$\frac{7\sqrt{15}}{80}$，
由|F₁A|=a+c=9，可得△PF₁A的面积为：$\frac{1}{2}×9$×$\frac{7\sqrt{15}}{80}$=$\frac{63\sqrt{15}}{160}$

点评 本题考查的知识点是椭圆的简单性质，余弦定理，三角形面积公式，难度中档．