Question

15．已知函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，若实数a满足：$f（{log_3}a）+f（{log_3}\frac{1}{a}）≤2f（1）$，则a的取值范围是$\frac{1}{3}$≤a≤3．

Answer 1

分析 由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（-x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），$f（{log_3}a）+f（{log_3}\frac{1}{a}）≤2f（1）$，即为f（|log₃a|）≤f（1），再由f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，得到|log₃a|≤1，即有-1≤log₃a≤1，解出即可

解答 解：由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，
则f（-x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），
由实数a满足$f（{log_3}a）+f（{log_3}\frac{1}{a}）≤2f（1）$，
则有f（log₃a）+f（-log₃a）≤2f（1），
即2f（log₃a）≤2f（1）即f（log₃a）≤f（1），
即有f（|log₃a|）≤f（1），
由于f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，
则|log₃a|≤1，即有-1≤log₃a≤1，
解得，$\frac{1}{3}$≤a≤3．
故答案为：$\frac{1}{3}$≤a≤3．

点评 本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性、单调性和运用，考查对数不等式的解法，考查运算能力，属于中档题