Question

7．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，$\frac{AN}{NC}=\frac{BM}{{M{C_1}}}=3$．
（Ⅰ）求MN的长；
（Ⅱ）求异面直线D₁M与AC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别以DA，DC，DD₁为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出|MN|的长．
（Ⅱ）分另求出$\overrightarrow{{D_1}M}=（\frac{a}{4}，\frac{3a}{4}，-a）$，$\overrightarrow{AC}=（-a，a，0）$，利用向量法能求出异面直线D₁M与AC所成角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）分别以DA，DC，DD₁为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
则$M（\frac{a}{4}，\frac{3a}{4}，0），N（\frac{a}{4}，a，\frac{3a}{4}）$，…2分
∴|MN|=$\sqrt{（\frac{a}{4}-\frac{a}{4}）^{2}+（a-\frac{3a}{4}）^{2}+（\frac{3a}{4}-a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}a}{4}$．…2分
（Ⅱ）D₁（0，0，a），A（a，0，0），C（0，a，0），
$\overrightarrow{{D_1}M}=（\frac{a}{4}，\frac{3a}{4}，-a）$，$\overrightarrow{AC}=（-a，a，0）$，
$cos＜\overrightarrow{{D_1}M}，\overrightarrow{AC}＞$=$\frac{\overrightarrow{{D}_{1}M}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{{D}_{1}M}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{-\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{3{a}^{2}}{4}}{\sqrt{\frac{26{a}^{2}}{16}}•\sqrt{2}a}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$．…3分
所以异面直线D₁M与AC所成角的余弦值$\frac{\sqrt{13}}{13}$．…1分

点评 本题考查线段长的求法，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．