Question

10．函数f（x）=sinxsin（x+$\frac{π}{3}$）+sin²x，x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{4}$）的值域为[$\frac{3-2\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3+2\sqrt{3}}{4}$]．

Answer 1

分析 化简可得f（x）=$\frac{3}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），由三角函数的知识可得值域．

解答 解：化简可得f（x）=sinxsin（x+$\frac{π}{3}$）+sin²x
=sinx（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）+sin²x
=$\frac{1}{2}$sin²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+sin²x
=$\frac{3}{2}$•$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x
=$\frac{3}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x-$\frac{3}{4}$cos2x
=$\frac{3}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）
=$\frac{3}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴函数的值域为[$\frac{3-2\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3+2\sqrt{3}}{4}$]，
故答案为：[$\frac{3-2\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3+2\sqrt{3}}{4}$]．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的值域，属基础题．